Exceptional Topological Band Structures

by Lukas König (Stockholm University)

Friday 5 Jun 2026, 09:00 → 12:00 Europe/Stockholm

Lärosal 16, Albanovägen 18 (Albano Building 2)

Abstract
Metamaterials, optical and photonic setups, as well as electric and acoustic systems all (clearly) behave very differently
from isolated quantum systems; as do open quantum systems that are in contact with an environment. The primary reason
is precisely this coupling to an environment, which can deliver energy and particles into and out of the system. The insight
that these systems can nevertheless be described in a formalism that structurally resembles quantum mechanics of isolated
systems, has fuelled a wave of interest in what has come to be known as non-hermitian physics.
More recently, results from the quantum theory of topological phases started being applied to the non-hermitian realm.
This theory describes the emergence of phases of matter that seem identical in its preceding paradigm of symmetries and
symmetry breaking, but that differ for topological reasons. Exemplarily, there are different topological insulators that are
distinguished by topological invariants, discrete numbers that can be calculated from their band structure. Phase transitions
between them happen via topologically robust nodal points in the band structure, which carry the changes in invariants.
Here we use homotopy theory to derive such invariants for non-hermitian systems. Non-hermitian nodal points are
commonly called exceptional points, and are protected by the non-abelian braid group, thus topologically extremely
different from their hermitian counterparts. We find that exceptional points of higher order are protected by winding
numbers, that systems subject to PT-symmetry (parity and time reversal) show combined eigenvalue and eigenvector
topology, and that two-dimensional spatial symmetries (called wallpaper symmetries) can enforce exceptional points.
We further derive fermion doubling theorems for non-hermitian topological systems, which constrain the allowed
number and composition of exceptional points in a material. These theorems differ from their hermitian analogues due to
the non-abelian structure inherent to exceptional points. We show, theoretically and in photonics experiments, that this can
lead to topological monopoles, which are forbidden in hermitian systems.
Swedish Summary
Metamaterial, optiska och fotoniska system samt elektriska och akustiska system uppför sig alla, som bekant, på ett
helt annat sätt än isolerade kvantsystem; detsamma gäller öppna kvantsystem som står i kontakt med omgivningen. Den
främsta anledningen till detta är växelverkan med omgivningen, som kan tillföra energi och partiklar till och från systemet.
Insikten att dessa system ändå kan beskrivas med en formalism som strukturellt liknar kvantmekaniken för isolerade
system har väckt ett stort intresse för det som har kommit att kallas icke-hermitisk fysik.
Sedan dess har resultat från kvantteorin kring topologiska faser tillämpats på icke-hermitiska system. Denna teori
beskriver uppkomsten av materiafaser som framstår som identiska inom det tidigare paradigmet av symmetrier och
symmetribrytning, men som skiljer sig åt av topologiska skäl. Ett exempel på detta är olika topologiska isolatorer
som kännetecknas av topologiska invarianter: diskreta tal som kan beräknas utifrån deras bandstruktur. Fasövergångar
mellan olika topologiska isolatorer sker via topologiskt robusta nodpunkter i bandstrukturen, vilka bär på förändringarna
i invarianterna.
Här använder vi homotopiteori för att härleda sådana invarianter för icke-hermitiska system. Icke-hermitiska nodpunkter
kallas vanligtvis exceptionella punkter och skyddas av den icke-abelska flätgruppen, vilket innebär att de topologiskt
skiljer sig avsevärt från sina hermitiska motsvarigheter. Vi finner att exceptionella punkter av högre ordning skyddas
av vindningstal, att system som är underkastade PT-symmetri (paritet och tidsomvändning) uppvisar en kombinerad
egenvärdes- och egenvektortopologi, och att tvådimensionella rumsliga symmetrier (kristallografiska grupper) kan tvinga
fram exceptionella punkter.
Vi härleder vidare fermionfördubblingssatser för icke-hermitiska topologiska system, vilka begränsar det tillåtna antalet
och sammansättningen av exceptionella punkter i ett material. Dessa satser skiljer sig från sina hermitiska motsvarigheter
på grund av den icke-abelska strukturen i exceptionella punkter. Vi visar, teoretiskt och i fotonikexperiment, att detta kan
leda till topologiska monopoler, vilka är förbjudna i hermitiska system.